Các lớp tương tự Hình

Các hình đồng dạng có cùng hình dạng với nhau. Các hình này có thể được phân loại sử dụng các số phức, theo một phương pháp được đề xướng bởi J.A. Lester và Rafael Atzy. Chẳng hạn, một tam giác đều có thể được diễn đạt bởi các số phức 0,1, (1 + i √3)/2 để thể hiện các góc. Lester[5] và Atzy gọi tỉ lệ S ( u , v , w ) = u − w u − v {\displaystyle S(u,v,w)={{u-w} \over {u-v}}} là hình của tam giác ( u , v , w ) {\displaystyle (u,v,w)} . Khi đó, "hình" của tam giác đều sẽ là (0–(1+ √3)/2)/(0–1) = (1 + i √3)/2 = cos(60°) + i sin(60°) = exp(i π/3).

Đối với bất kỳ phép biến đổi cận nào của mặt phẳng phức, z ↦ a z + b , a ≠ 0 {\displaystyle z\mapsto az+b,a\neq 0} , tam giác sẽ được biến đổi mà không làm thay đổi hình dạng. Vì vậy nên hình là một bất biến của hình học cận. Hình p = S(u,v,w) phụ thuộc vào thứ tự của các đối số của hàm S, nhưng các hoán vị dẫn tới các giá trị liên quan. Chẳng hạn, 1 − p = 1 − ( u − w ) / ( u − v ) = ( w − v ) / ( u − v ) = ( v − w ) / ( v − u ) = S ( u , v , w ) {\displaystyle 1-p=1-(u-w)/(u-v)=(w-v)/(u-v)=(v-w)/(v-u)=S(u,v,w)} . Tương tự, p − 1 = S ( u , v , w ) {\displaystyle p^{-1}=S(u,v,w)} .

Ghép các hoán vị lại, ta có S ( v , w , u ) = ( 1 − p ) − 1 {\displaystyle S(v,w,u)=(1-p)^{-1}} . Ta lại có p ( 1 − p ) − 1 = S ( u , v , w ) S ( v , w , u ) = ( u − w ) / ( v − w ) = S ( w , v , u ) {\displaystyle p(1-p)^{-1}=S(u,v,w)S(v,w,u)=(u-w)/(v-w)=S(w,v,u)} . Các đẳng thức này là "luật quy đổi" đối với hình của một tam giác.

Hình dạng của tứ giác được kết hợp với hai số phức p, q. Nếu tứ giác đó có các đỉnh u.v.w.x thì p = S(u.v.w) và q = S(v,w,x). Artzy đã chứng minh bốn mệnh đề dưới đây về các hình tứ giác:

  1. Nếu p = ( 1 − q ) − 1 {\displaystyle p=(1-q)^{-1}} , thì hình tứ giác đó là hình bình hành.
  2. Nếu hình bình hành đó có |arg p| = |arg q|, thì đó là hình thoi.
  3. Nếu p = 1 + i và q = (1 + i)/2, thì tứ giác đó là hình vuông.
  4. Nếu p = r ( 1 − q − 1 ) {\displaystyle p=r(1-q^{-1})} và sgn r = sgn(Im p) thì tứ giác đó là hình thang.

Một đa giác (z1, z2,..., zn) có hình được xác định bởi n - 2 số phức S(zj, zj+1, zj+2), j = 1,..., n-2. Hình đa giác bao bọc một tập lồi khi tất cả các tập tính thông thường của hình được minh họa bởi các thành phần thực tế.